DIFERENCIACION NUMERICA
Como los métodos de interpolación tratados en el eje anterior, la diferenciación numérica es poderosa. Es una técnica que permite calcular una aproximación a la derivada de
una función. Como el concepto original de la derivada de una función, esta aproximación
se realiza alrededor de un punto utilizando los valores y propiedades que se conocen del
cálculo diferencial de una variable. En este sentido será objeto de estudio la fórmula de
diferencias finitas.
Diferencias finitas
Cuando se habla en diferenciación numérica de diferencias finitas, se habla de la fórmula
de diferencias finitas. Esta es una expresión matemática cuya forma es: f (x + b) – f (x +a)
y su significado, igual al que conoce el estudiante de su curso de cálculo diferencial, un
ejemplo fundamental, sería mencionar que la aproximación de las derivadas por diferencias finitas, el cual es el papel fundamental de la diferenciación numérica, juega un papel
esencial dentro del análisis numérico para la resolución de problemas relacionados con
ecuaciones diferenciales, entre otros.
Lo cual podemos escribir de la siguiente forma para simplificar la expresión un poco:
y recordando que la técnica de diferencias divididas consiste en aproximar la derivada
de una función en un punto.
En la técnica en mención se consideran tres formas generales.
Con las definiciones anteriores podemos escribir la fórmula de la diferencia hacia
delante de dos puntos, la fórmula de la diferencia centrada de tres puntos, y la formula
de la diferencia centrada de tres puntos para la segunda deriva tal como se muestra en
la siguiente tabla:
Para el estudio de la integración numérica discutiremos
la fórmula de Newton-Cotes, la cual tiene como representación de su naturaleza matemática la regla del trapecio
y la técnica de Simpson.
Fórmula de Newton-Cotes
En la teoría del análisis numérico, las fórmulas de Newton-Cotes es un conjunto de fórmulas en el contexto de la
integración numérica, cuyo objetivo es evaluar la función
en puntos equidistantes pertenecientes a un intervalo del
dominio de la función, y poder así encontrar un valor aproximado de la integral
Integración numérica
El concepto de integración numérica se relaciona mucho con el concepto de interpolación polinomial, tratado en el eje anterior. Es decir, en el eje anterior encontrábamos
un polinomio de interpolación mediante la aplicación de un método conocido el cual
permitía encontrar una función que contenía a un conjunto de puntos obtenidos experimentalmente. Ahora podemos evaluar alguna integral conocida en dicho polinomio y
por ende aproximarla al valor real de la integral buscada. En otras palabras la integración
numérica desea encontrar una solución aproximada de la integral:
La idea básica de la fórmula de Newton-Cotes, es encontrar el valor aproximado de
una integral reemplazando una función cuya estructura matemática es complicada de
resolver por los métodos tradicionales del cálculo integral, y expresarla como un polinomio.
INTEGRACION MULTIPLE
Integración múltiple
Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo,
una ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional
puede escribirse como sigue:
Al numerador se le llama integral doble.
Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente) se utilizan para
evaluar integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble
de una función sobre un área rectangular.
Recuerde del cálculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales
iteradas.
Primero se evalúa la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta
primera integración se incorpora en la segunda integración.
Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se
aplican métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos
múltiples, a la primera dimensión manteniendo constante los valores de la
segunda dimensión.
APLICACIONES
INTEGRACION NUMERICA
Gracias a ella se pueden calcular, aunque sea de forma aproximada, valores de integrales definidas que no pueden calcularse analíticamente o resultan muy complicadas.
La integración numérica es de gran importancia en ciencias aplicadas e ingeniería. Sus aplicaciones van desde cálculo de la capacidad de un pantano a partir de datos topográficos en el ´ámbito de la ingeniería civil, hasta la estimación de la fuerza total ejercida por el aire sobre las alas de un avión en ingeniería aeronáutica. En todas estas aplicaciones el objetivo es calcular una integral definida
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