TIPO DE ERRORES

 

Error de Truncamiento

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Es el error que aparece cuando un procedimiento infinito se hace finito. Note que el error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo, no depende directamente del sistema numérico que se emplee.

Ejemplo

El ejemplo clásico del error de truncamiento, es cuando se corta la expresión de una función, en series de potencia.

La expansión de una función en series de potencias de Taylor está dada por:

Como se ve, esta expansión es infinita lo cual no es práctico para calcular un valor de la función, de ahí que la serie se trunca, lo cual produce automáticamente un error, el cual es precisamente llamado error de truncamiento. Póngase como ejemplo, el cálculo del valor de:

El error de truncamiento ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos. Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie infinita.

 Notese que el error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo, no depende directamente del sistema numérico que se emplee. Cálculo numérico en Ingeniería 12 Por lo tanto habrá que tener mucho cuidado con las singularidades que puedan presentar los problemas a resolver en un determinado algoritmo, los criterios con los que se decida cuando se ha de parar un determinado proceso iterativo, la precisión máxima obtenible, cuando se ha de considerar que un número es cero, etc. A modo de ejemplo imagine que se desea calcular cuanto vale − 5.5 e .

 Esto se puede hacer considerando el desarrollo en serie de x e y añadiendo sumandos hasta que el resultado, en nuestra máquina, no varíe. ... 

!2 !3 1 2 3 = + + + + x x e x x  Suponga que utilizamos una máquina β=10, t=5, más de lo que utilizamos habitualmente cuando hacemos cálculos a mano. 

 = +1.0000 – 5.5000 + 15.125 –27.730 + 38.129 – 41.942 + 38.446 – 30.208 + 20.768 – 12.692 + 6.9803 – 3.4902 + 1.5997 - … = +0.0026363 La suma termina después de 25 términos pues los siguientes no aportan dígitos significativos al resultado. El valor real de la operación es, sin embargo, 0.00408677.

 Como se puede ver la diferencia es muy importante, tanto que ambos resultados apenas se parecen. 

ERROR DE REDONDEO

El error de redondeo es el que resulta de reemplazar un número por su forma de punto flotante, es decir, por su representación en una máquina concreta. Este error se denomina de redondeo tanto para aproximación por truncamiento como por redondeo.  

Errores de Redondeo

Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo.

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólose guardan siete cifras significativas, la computadora puede alamcenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.

Ya que la mayor parte de las computadoras tiene entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar crítico en algunos métodos numéricos:

1. Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.

1. El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.